M02 示波器 vs CRT:偏转、时基、采样

CRT(阴极射线管)是“显示器件”;示波器是“测量系统”。老式模拟示波器常用 CRT 显示, 现代示波器多用 LCD,但测量功能(时基、触发、输入阻抗、采样量化)仍然存在。

这个模块用简化模型展示:电子被加速电压 V_acc 加速,进入偏转板后受电场力偏转。 近似结论:屏上偏转 y ∝ V_def / V_acc(电场偏转灵敏度随加速电压增大而减小)。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:推到并记住 \(y \propto \dfrac{V_{\mathrm{def}}}{V_{\mathrm{acc}}}\)

1) 加速段:\(V_{\mathrm{acc}}\rightarrow v\)

非相对论近似(动能来自电势能): \[ eV_{\mathrm{acc}}=\frac12 m_e v^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e}}. \]

2) 偏转板内:\(V_{\mathrm{def}}\rightarrow E_y\rightarrow a_y\rightarrow y_1\)

偏转板间距 \(d\),电场近似均匀: \[ E_y \approx \frac{V_{\mathrm{def}}}{d}. \] 电场力与加速度: \[ F_y=eE_y,\qquad a_y=\frac{F_y}{m_e}=\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}. \] 偏转板长度 \(l\),板内飞行时间 \(t_1=l/v\)。板内位移(初始 \(v_y=0\)): \[ y_1=\frac12 a_y t_1^2 = \frac12\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{l^2}{v^2}. \]

3) 漂移段:\(v_y\rightarrow y_2\)

出板获得横向速度: \[ v_y=a_y t_1=\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{l}{v}. \] 漂移段长度 \(L_d\),漂移时间 \(t_2=L_d/v\),漂移位移: \[ y_2=v_y t_2=\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{lL_d}{v^2}. \]

4) 合并得到比例关系(最重要的“记忆式”)

\[ \begin{aligned} y &= y_1+y_2 = \frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{l^2/2+lL_d}{v^2},\\ v^2&=\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e} \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad y=\frac{V_{\mathrm{def}}}{V_{\mathrm{acc}}}\cdot\frac{l^2/2+lL_d}{2d}. \] 因此(几何量固定时): \[ y \propto \frac{V_{\mathrm{def}}}{V_{\mathrm{acc}}}. \]

记忆法:\(V_{\mathrm{acc}}\) 越大 \(\Rightarrow v\) 越大 \(\Rightarrow\) 在偏转区“停留时间”更短 \(\Rightarrow\) 同样 \(V_{\mathrm{def}}\) 偏转更小。

5) 数字示波器:采样与量化(两条必会公式)

  • 采样时刻:\(\;t_n = n/f_s\)(采样率 \(f_s\))
  • 量化台阶(满量程 \(\pm A\),位数 \(N_{\mathrm{bits}}\)):
    \[
    \Delta \approx \frac{2A}{2^{N_{\mathrm{bits}}}},\qquad
    e_q\in\left[-\frac{\Delta}{2},\frac{\Delta}{2}\right]
    \quad(\text{理想均匀量化}).
    \]
  • 混叠(定性记忆):当信号频率接近/超过 \(f_s/2\),会折叠为低频;常用写法:
    \[
    f_{\mathrm{alias}}=\lvert f-kf_s\rvert
    \quad(\text{取整数 }k\text{ 使 }f_{\mathrm{alias}}\in[0,f_s/2]).
    \]

参数

V_acc 越大,电子速度越大,偏转灵敏度越小(同样偏转电压,屏上位移更小)。
波形只影响 V_y(t);屏幕偏转仍满足 y ∝ V_y/V_acc(近似)。
T_sweep 变小=扫描更快;同样信号会在屏上“拉伸/压缩”。
触发会把每次扫掠的起点对齐到“输入电压跨过阈值”的时刻,使波形稳定。

采样率不足会出现混叠:观察数字采样曲线与模拟曲线的差异。
位数越少,波形越“台阶化”。

图表

常见误区

  • “示波器=CRT”:不对。CRT 只是显示器件;示波器还包含输入衰减/耦合、时基、触发、放大等测量系统。
  • “V_acc 越大偏转越大”:在电场偏转模型中相反,y ∝ V_def / V_acc,V_acc 越大电子越“硬”。
  • “采样率只要比信号频率大就行”:需要满足奈奎斯特条件 f_s ≥ 2 f 才能避免混叠(理想情况)。
  • “位数越低只是更粗糙”:低位数会引入量化噪声/台阶,影响幅值与细节判断。

引导问题

引导问题(3~5 分钟)
  1. 预测:把 V_acc 加倍,屏幕上同样 A_y 的正弦波高度会怎样变化?
  2. 验证:分别把 f_s 调到 1.2 f_y 和 10 f_y,数字波形出现了什么差异?
  3. 解释:用“电子速度变大 → 在偏转板内停留时间变短”解释 y ∝ 1/V_acc 的趋势。
  4. 拓展:为什么真实示波器需要触发?如果没有触发,屏幕图形会发生什么?

M03 XCT/CT:投影→正弦图→重建

XCT(X-ray CT)把许多角度的“投影”(线积分)组织成 正弦图(sinogram),再用数学重建得到截面图像。 直观理解:角度越多,重建越接近原图;角度太少会产生条纹伪影。

点击“旋转采集/暂停”可以看到:采集角度 θ 逐步变化;phantom 上的“当前投影角度”指示线随之旋转, sinogram 上的竖线指示当前采集到哪一列投影。

本页面用简化模型演示:phantom → Radon 投影 → sinogram → 反投影/滤波反投影(FBP) 重建。 为保证离线交互性能,重建结果在 Python 端对离散参数做了预计算。 你可以把它理解为:sinogram 就是 Radon 变换的输出BP 是把每个角度的投影“沿着该角度铺回去”(反投影/伴随算子); FBP 则是在反投影前对投影做滤波来补偿模糊,从而边缘更清晰。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:从 Beer–Lambert \(\rightarrow\) Radon \(\rightarrow\) BP/FBP

1) 透射与“投影数据”

设截面衰减系数为 \(\mu(x,y)\)(单位 \( \mathrm{m^{-1}}\))。沿一条射线 \(L(\theta,s)\): \[ I_{\mathrm{out}} = I_{\mathrm{in}}\exp\!\left(-\int_{L(\theta,s)} \mu\,ds\right). \] 取对数得到更“线性”的投影量: \[ p(\theta,s):=-\ln\!\left(\frac{I_{\mathrm{out}}}{I_{\mathrm{in}}}\right) = \int_{L(\theta,s)} \mu\,ds. \] 这一步说明:CT 的核心数据不是照片,而是“线积分”。

2) Radon 形式:用 \((\theta,s)\) 描述一条直线

直线方程(法向量角度为 \(\theta\)): \[ x\cos\theta + y\sin\theta = s. \] 于是 \(p(\theta,s)\) 就是对满足该方程的直线做积分(即 Radon 变换的输出)。把 \(\theta\) 作为横轴、\(s\) 作为纵轴排成图,就是 sinogram。

3) “点 \(\rightarrow\) 正弦线”的由来(最常考)

若只看某个点 \((x_0,y_0)\) 的贡献,它在角度 \(\theta\) 下投影到 \[ s(\theta)=x_0\cos\theta+y_0\sin\theta, \] 这是随 \(\theta\) 正弦变化的函数,因此在 sinogram 上画出一条“正弦轨迹”。

4) 简单反投影(BP):把投影“沿原方向铺回去”

反投影(连续形式)的直观表达: \[ \mu_{\mathrm{BP}}(x,y)=\int_0^{\pi} p\!\left(\theta,\,x\cos\theta+y\sin\theta\right)d\theta. \] BP 的问题:会把点“抹开”成模糊背景(低频偏强),边缘发糊、条纹明显。

5) 滤波反投影(FBP):先滤波再反投影

FBP 结构(记住“先滤波再反投影”): \[ \mu_{\mathrm{FBP}}(x,y) =\int_0^{\pi} \bigl(p(\theta,\cdot)*h(\cdot)\bigr)\!\left(x\cos\theta+y\sin\theta\right)\,d\theta. \] 其中 \(h\) 是滤波核;在频域中等价于对每个角度的投影做 ramp filter: \[ P_{\mathrm{filt}}(\omega) = |\omega|\,P(\omega). \] 直观理解:BP 低频过强 \(\Rightarrow\) 乘上 \(|\omega|\) 补偿高频 \(\Rightarrow\) 边缘更清晰。

6) 角度数 \(N_{\mathrm{angles}}\):为何角度少会出条纹

把积分离散成求和: \[ \mu(x,y)\approx \sum_{k=0}^{N-1} p\!\left(\theta_k,\,x\cos\theta_k+y\sin\theta_k\right), \qquad \theta_k=\frac{k\pi}{N}. \] 当 \(N\) 变小,角度域欠采样 \(\Rightarrow\) 重建出现条纹伪影(streak artifacts)。


参数

角度越多,重建越好,但采集/计算成本也更高。
σ 越大,sinogram 越“花”,重建噪声与伪影更明显。
这里只做“衰减整体缩放”的教学近似:kVp 越高,等效衰减越小。
用于“剖线曲线”:比较 phantom、BP、FBP 在同一行的强度分布。

图表

常见误区

  • “CT 就是把很多张照片叠加”:不对。CT 的核心是 投影数据数学重建(Radon 变换思想)。
  • “角度越多就一定完全没噪声”:角度多能减小欠采样伪影,但噪声仍会通过重建传播。
  • “FBP 是魔法”:FBP 本质是在反投影前对投影做滤波(补偿反投影的低频过强)。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 N_angles 从 30 改到 180,sinogram 会变“密”还是“稀”?重建条纹会如何变化?
  2. 验证:固定 σ,对比 BP 与 FBP。哪一种边缘更清晰?为什么需要“滤波”?
  3. 解释:用“线积分/投影”的语言解释:为什么一个点在 sinogram 上会画出一条正弦样曲线?
  4. 拓展:真实 CT 中还有哪些会影响重建质量?(散射、硬化、运动、有限探测器……)

M04 交流电机:旋转磁场可视化

交流电机的核心直观:线圈电流 → 磁场;多相电流叠加可形成旋转磁场。 单相电流只产生往返的“脉动磁场”,起动困难;三相 120° 相位差可形成近恒幅旋转磁场; 单相 + 电容可人为制造相位差,得到椭圆形“近似旋转”。

本页同时给出“相电流波形(电路观点)”与“合成磁场矢量端点轨迹(电磁场观点)”。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:三相“stick 伸缩”叠加出旋转矢量

1) 单相:端点只会往返

教学近似:绕组在某观察点的磁场矢量与电流成正比,且方向沿绕组轴: \[ \mathbf{B}_a(t)=k\,i_a(t)\,\hat{\mathbf{u}}_a,\qquad \hat{\mathbf{u}}_a=\text{常向量}. \] 单相 \(i_a(t)=I_0\sin\omega t\),因此 \(\mathbf{B}(t)\) 只在固定方向上正负变化 \(\Rightarrow\) 端点轨迹是一条线段(往返)。

2) 三相:合成磁场幅值近恒定且在转

三相电流(相差 \(120^\circ\)): \[ \begin{aligned} i_a &= I_0\sin\omega t,\\ i_b &= I_0\sin(\omega t-2\pi/3),\\ i_c &= I_0\sin(\omega t+2\pi/3). \end{aligned} \] 绕组轴(空间方向也相差 \(120^\circ\)): \[ \hat{\mathbf{u}}_a=(1,0),\quad \hat{\mathbf{u}}_b=\bigl(\cos120^\circ,\sin120^\circ\bigr),\quad \hat{\mathbf{u}}_c=\bigl(\cos240^\circ,\sin240^\circ\bigr). \] 合成: \[ \mathbf{B}(t)=k\bigl(i_a\hat{\mathbf{u}}_a+i_b\hat{\mathbf{u}}_b+i_c\hat{\mathbf{u}}_c\bigr). \] 利用三角恒等式可得到(关键结果): \[ B_x(t)=\frac{3}{2}kI_0\sin\omega t,\qquad B_y(t)=-\frac{3}{2}kI_0\cos\omega t. \] 因此 \[ |\mathbf{B}(t)|=\sqrt{B_x^2+B_y^2}=\frac{3}{2}kI_0=\text{常数}, \] 端点轨迹为圆(旋转磁场)。

记忆法:三相时“绕组轴固定”,每相 stick 只在自己的轴上变长/变短,但合成矢量端点绕圈且幅值近恒定。

3) 单相 + 电容(两相近似):椭圆与“接近圆”的条件

把主绕组与辅绕组近似成两正交分量: \[ B_x = kI_0\sin\omega t,\qquad B_y = k(rI_0)\sin(\omega t-\varphi). \] 一般为椭圆;当 \(r\approx 1\) 且 \(\varphi\approx 90^\circ\) 时更接近圆。


参数

用于波形与“同步转速”读数:2 极电机近似 n_sync≈60f rpm(教学)。
拖动观察矢量端点随时间旋转/往返。

图表

常见误区

  • “单相交流一定产生旋转磁场”:不对。单相主要是脉动磁场;要形成旋转需要相位差(两相/三相)。
  • “三相电流相加会互相抵消所以没磁场”:电流的空间方向不同,叠加得到的是旋转矢量而非恒为零。
  • “频率越高转得越快越好”:同步转速随频率增大,但损耗、铁心涡流等也会增加(工程细节此处不展开)。

引导问题

引导问题
  1. 预测:单相模式下,端点轨迹会是圆还是线?为什么?
  2. 验证:切到三相模式,观察 |B| 是否近似恒定;这对“转矩平稳”意味着什么?
  3. 解释:用“相位差”解释电容模式中端点轨迹为什么变成椭圆。
  4. 拓展:如果辅助绕组比例太小/太大,会发生什么?如何让椭圆更接近圆?

M05 理想化导轨:RLC 放电 + I² 力 + 能量条

安全边界:本模块仅用于课堂讨论的理想化物理与电路仿真(RLC 放电波形 + 能量观点 + I² 力近似)。 不提供任何现实可执行的制造、材料选型、加工、装配或危险操作指导。

理想化模型: 电容初能量 E0=½CV0²; 放电电流由串联 RLC 决定; 采用能量法的常见近似 F ≈ ½·L'·I²(L' 为“电感梯度”参数,仅作为给定常数)。 通过积分可以得到速度/位移,并用能量条展示“电容能 → 动能/热/剩余”。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:从 RLC 放电得到 \(I(t)\),再到 \(F(t)\propto I^2\) 与能量分配

安全边界:仅讨论理想化电路/物理与能量观点,不涉及任何现实可执行制造或操作。

1) 串联 RLC 放电:标准二阶方程

KVL(无外加源): \[ L\frac{di}{dt}+Ri+V_C=0, \qquad i=-C\frac{dV_C}{dt}. \] 消去 \(i\): \[ \frac{d^2V_C}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dV_C}{dt}+\frac{1}{LC}V_C=0. \] 定义 \[ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad \alpha=\frac{R}{2L}. \]

2) 欠阻尼解(最常见、最直观)

当 \(\alpha<\omega_0\),令 \(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\),在初始条件 \(V_C(0)=V_0\)、\(i(0)=0\) 下: \[ V_C(t)=V_0e^{-\alpha t}\left[\cos(\omega_dt)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_dt)\right], \] \[ i(t)=\frac{V_0}{L\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_dt). \] 结论:线性系统中 \(i(t)\propto V_0\)(加倍 \(V_0\) 电流整体加倍)。

3) 教学近似:\(I^2\) 力与运动学

常用近似(能量法写法): \[ F(t)\approx \frac12 L' \,i(t)^2. \] 于是 \[ a(t)=\frac{F(t)}{m},\quad v(t)=\int a(t)\,dt,\quad x(t)=\int v(t)\,dt, \] 并可加入简化摩擦:\(a_{\mathrm{eff}}\approx F/m-\mu g\)(同时用 \(v\ge 0\) 夹紧体现损耗)。

4) 能量观点(最稳的自检)

初始电容能量: \[ E_0=\frac12 CV_0^2. \] 各部分能量(随时间): \[ E_C=\frac12 C V_C^2,\quad E_L=\frac12 Li^2,\quad E_R(t)=\int_0^t i^2R\,dt,\quad E_K=\frac12 mv^2,\quad E_f\approx \mu m g x. \] 在理想/近似范围内应满足: \[ E_C+E_L+E_R+E_K+E_f\approx E_0. \]

5) 缩放律(课堂预测题好用)

因为 \(i\propto V_0\),所以 \[ F\propto i^2 \propto V_0^2. \] 在其它参数不变的教学范围内,出口速度/位移的量级往往也随 \(V_0^2\) 明显增长(用于理解趋势)。


参数

R 越大,峰值电流降低,能量更多变成焦耳热,动能更少(定性)。
这里把 L 作为离散选项,以便用预计算网格保证离线交互性能。
L' 仅作为给定参数,不讨论结构来源;F≈½·L'·I²。

图表

常见误区

  • “峰值电流越大末速度一定越大”:不对。末速度取决于能量转化,与波形、R 损耗、摩擦等有关。
  • “电磁力凭空产生能量”:不对。能量主要来自电容初始能量 ½CV0²,并在电路/运动之间分配。
  • “只要提高 V0 就无限提升”:理想模型里 v 随 V0² 增长很快,但真实系统会受到击穿、发热、结构强度等限制(此处不展开工程细节)。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 V0 加倍,I(t) 的峰值会怎样变化?x(t)、v(t) 的量级变化更像“×2”还是“×4”?
  2. 验证:固定 C、L,分别把 R 调大/调小,比较能量条中“热”与“动能”的占比。
  3. 解释:为什么 I(t) 是一个先上升后衰减(甚至振荡)的波形?用 RLC 的能量交换解释。
  4. 拓展:如果轨道长度有限,为什么“更大的峰值电流”不一定转化为更大的出口速度?

M06 质谱仪:V 与 B 决定轨迹半径

质谱仪用电场加速与磁场偏转把不同 m/q 的粒子分开: qV = ½mv²r = mv/(|q|B)。 因此在固定 V、B 下,半径 r 与 √(m/q) 有关。 也可以加入速度选择器v = E/B,让进入磁场的粒子速度更一致。

本页面用理想化 2D 圆弧轨迹展示“落点分离”,并给出读数 v、r 与分离度(定性)。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:得到 \(r\propto \sqrt{m/q}/B\),并理解“落点分离”

1) 加速:\(V_{\mathrm{acc}}\rightarrow v\)

\[ qV_{\mathrm{acc}}=\frac12 mv^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2qV_{\mathrm{acc}}}{m}}. \]

2) 匀强磁场偏转:\(B\rightarrow r\)

速度垂直于 \(\mathbf{B}\) 时,磁力提供向心力: \[ |q|vB=\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r=\frac{mv}{|q|B}. \] 代入 \(v\): \[ r=\sqrt{\frac{2mV_{\mathrm{acc}}}{|q|B^2}}. \] 结论(记住比例): \[ r\propto \frac{\sqrt{m/|q|}}{B},\qquad r\propto \sqrt{V_{\mathrm{acc}}},\qquad r\propto \frac{1}{B}. \]

3) 速度选择器:\(v=E/B\)

交叉场选速(理想化): \[ qE=qvB \quad\Rightarrow\quad v=\frac{E}{B}. \] 进入偏转磁场后: \[ r=\frac{mv}{|q|B}=\frac{mE}{|q|B^2}. \]

4) 探测屏落点(与页面几何一致)

粒子从原点沿 \(+x\) 进入磁场,圆弧参数式: \[ x=r\sin\theta,\qquad y=r(1-\cos\theta). \] 屏幕为 \(x=x_{\mathrm{det}}\),则 \[ \sin\theta=\frac{x_{\mathrm{det}}}{r}, \qquad y_{\mathrm{hit}}=r\left(1-\sqrt{1-(x_{\mathrm{det}}/r)^2}\right). \] 因此不同 \(m/q\Rightarrow r\) 不同 \(\Rightarrow y_{\mathrm{hit}}\) 分离。


参数

速度选择器是理想化模型:用 E 与 B 选出特定速度。

图表

常见误区

  • “B 越大半径越大”:不对,r ∝ 1/B,磁场越强弯得越厉害。
  • “电压越大弯得越厉害”:对仅加速模式,电压越大速度越大,反而 r ∝ √V 增大。
  • “m 越大一定更难偏转”:要看 m/q。带电量不同(q 不同)会显著影响轨迹。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 B 加倍,轨迹半径 r 会变成原来的多少?落点会如何移动?
  2. 验证:在“仅加速”与“速度选择器”两种模式下,改变 V_acc 对落点的影响是否相同?为什么?
  3. 解释:用 qV=½mv²r=mv/(qB) 推导出 r 与 V、B、m/q 的关系。

M07 电子显微镜:电压→波长,磁透镜→聚焦

电子显微镜的两个“高中层级”抓手:

  • 电压 → 电子波长:德布罗意关系 λ = h/√(2meV)(此处用非相对论近似)。
  • 磁透镜 → 聚焦:线圈电流产生磁场,对运动电子施加洛伦兹力,使电子束像“光线”一样会聚/发散(定性)。

本页用“薄透镜近似”的光线追迹展示聚焦效果,并给出 λ(V) 曲线与当前读数。 为了让两张图更“联动”,这里把加速电压 V 对聚焦强度的影响也做了教学近似:V 越大电子越快,同样 I_lens 的聚焦越弱(焦距更长)。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:把“电压 \(\rightarrow\) 波长”与“磁透镜 \(\rightarrow\) 聚焦”串起来

1) 德布罗意波长:\(V\rightarrow \lambda\)

非相对论近似: \[ p=\sqrt{2m_eeV},\qquad \lambda=\frac{h}{p} \quad\Rightarrow\quad \lambda(V)=\frac{h}{\sqrt{2m_eeV}}. \] 结论:\(\lambda\propto 1/\sqrt{V}\)。

2) 为什么“电压更高更难聚焦”(高中可接受的量级推导)

磁场只改变动量方向。横向动量改变量级 \(\Delta p_\perp\sim qBl\)(有效长度 \(l\)),纵向动量 \(p\sim \sqrt{V}\),故偏转角量级 \[ \theta\sim \frac{\Delta p_\perp}{p}\propto \frac{B}{\sqrt{V}}. \] 因此在同样线圈电流(同样 \(B\))下,\(V\) 越大,束线越“硬”,聚焦更弱(焦距更长)。

3) 薄透镜近似:一条最常用的“束线公式”

把束线视作小角度光线,透镜处横向坐标 \(y\),入射角 \(\theta_{\mathrm{in}}\)。薄透镜角度跳变: \[ \theta_{\mathrm{out}}=\theta_{\mathrm{in}}-\frac{y}{f}. \] 焦距 \(f\) 越小聚焦越强;改变 \(f\) 会改变屏上束斑大小,并通常出现“最佳聚焦”附近的最小束斑。


参数

V 越大,电子动量越大,德布罗意波长越短(分辨本领提高,但仍受像差等限制)。
用经验关系 1/f ∝ I²(教学近似),I 越大聚焦越强(焦距更短)。
越大发散越强,屏上束斑更大;透镜可减小束斑但会出现最佳值。
>1 表示像差/不完美更明显(仅用于教学展示)。

图表

常见误区

  • “电压越高就一定无限清晰”:不对。分辨率还受像差、稳定性、样品与探测等限制(工程细节不展开)。
  • “磁力把电子吸向某点”:更合理的说法是:磁场对运动电荷产生洛伦兹力,改变其横向动量,使束线会聚。
  • “λ 很小就意味着能看到任意小”:波长只是一个因素;成像系统的像差与噪声也很关键。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 V 从 2 kV 提到 8 kV,λ 会变成原来的多少?(观察曲线)
  2. 验证:固定发散角,调 I_lens,束斑半径会出现“最小值”吗?为什么?
  3. 解释:用“薄透镜:θ_out = θ_in - y/f”解释:为什么焦距变短会更强烈地改变束线斜率?

M08 回旋加速器:共振与失谐

回旋加速器(cyclotron)的“高中直觉”可以拆成一句话: 磁场让粒子绕圈,缝隙里的交变电场每半圈给它“再推一把”

(电磁场) 在近似均匀的磁场 B 中,粒子受洛伦兹力做圆周运动,半径与速度满足 r = mv/(|q|B)。 非相对论近似下,回旋角频率与半径无关: ω_c = |q|B/m,对应频率 f_c = ω_c/(2π)。 这就是“可以用固定 RF 频率”的关键原因。

(电路) 两个 D 形电极之间由 RF 电源提供正弦电压(可理解成“交流高频电源/谐振腔”): 当粒子每次穿过缝隙时,如果恰好遇到“加速相位”,就会获得能量增量(符号由相位决定): ΔK ≈ q·V_gap·sin(相位)(教学近似)。 频率对准且相位合适时,能量会一圈圈累积,轨迹向外扩展成螺旋。

失谐(f_rf ≠ f_c)时,粒子到达缝隙的相位会逐渐漂移:有时推、有时拉,平均加速变差甚至抵消, 你会看到能量增长减慢、相位曲线“跑掉”、轨迹不再平滑外扩。 相对论开关打开后,能量升高使 γ 增大,等效回旋频率变为 ω_c=|q|B/(γm), 即使最初对准也会逐步失谐(经典回旋加速器的限制之一)。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:得到 \(\omega_c=|q|B/m\),理解“共振/失谐”

1) 回旋角频率:磁场 \(\rightarrow\) 绕圈

\[ |q|vB=\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad \frac{v}{r}=\frac{|q|B}{m}=: \omega_c. \] 非相对论下 \(\omega_c\) 与半径无关,是“固定 RF 也能一直加速”的关键。

2) 缝隙加速:相位决定加速还是减速

若缝隙电压 \(V_{\mathrm{gap}}(t)=\hat V\sin(\omega_{\mathrm{rf}}t)\),粒子第 \(n\) 次过缝隙时刻为 \(t_n\),能量增量(教学量级): \[ \Delta K_n \approx q\,V_{\mathrm{gap}}(t_n). \] 当 \(\omega_{\mathrm{rf}}\approx \omega_c\) 且相位选择合适,\(\Delta K_n\) 多为正,能量逐次累积。

3) 失谐:相位漂移导致“有时推有时拉”

若 \(\omega_{\mathrm{rf}}\ne \omega_c\),到达相位 \(\phi_n=\omega_{\mathrm{rf}}t_n\) 会随 \(n\) 漂移,导致 \(\Delta K_n\) 符号与大小变化,平均加速变差甚至抵消。

4) 相对论效应(经典回旋加速器的限制)

能量升高使 \(\gamma\) 增大,回旋频率变为 \[ \omega_c=\frac{|q|B}{\gamma m},\qquad \gamma=1+\frac{K}{mc^2}. \] 即使初始对准,也会逐步失谐。


参数

把 f_rf 调到接近理论 f_c,观察轨迹与能量的差异。
开启后,能量升高会使 γ 增大,回旋频率下降,产生失谐。

图表

常见误区

  • “频率越高越好”:不对。必须与回旋频率匹配;失谐会导致加速相位跑偏甚至减速。
  • “B 只决定半径不影响共振”:B 同时决定回旋频率 ω_c=|q|B/m
  • “永远不需要考虑相对论”:能量高时 γ 增大,频率下降,经典回旋加速器会失谐。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 B 增大,理论 f_c 会如何变化?轨迹半径在同样能量下如何变化?
  2. 验证:把 f_rf 调到略高/略低于 f_c,能量曲线会发生什么?相位会漂移吗?
  3. 拓展:打开相对论开关后,为什么在能量更高时更容易失谐?

M09 直线加速器:相位同步与漂移管

直线加速器(Linac)的核心直觉:RF 腔隙中有纵向电场可以加速; 漂移管内近似无场(屏蔽),粒子在其中“等待”RF 翻转到合适相位后再进入下一个加速缝隙。 因此必须考虑相位同步漂移管长度随速度增加而变长。

本页面用“离散加速缝隙 + 漂移段”的教学模型展示:同步设计 vs 固定长度导致的相位漂移与能量增长差异。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:推到漂移管长度 \(L_n\approx v_nT/2\)

1) 缝隙加速:相位同步

把 RF 场写成 \(E_z(t)=\hat E\cos(\omega t)\)。若缝隙长度为 \(g\),等效电压近似 \[ V_{\mathrm{gap}}\approx \hat E\,g. \] 粒子在第 \(n\) 次穿越缝隙时刻 \(t_n\) 的能量增量(教学写法): \[ \Delta K_n \approx qV_{\mathrm{gap}}\cos(\omega t_n+\phi_0). \] 要持续加速,就要让 \(\cos(\cdot)\) 尽量保持为正且不太小。

2) 漂移管:让粒子“等半个周期再出来”

漂移管内近似无场(不加速),作用是让粒子用时间对齐 RF 翻转。常取(\(\pi\) 模式直觉): \[ \Delta t_n \approx \frac{T}{2}=\frac{1}{2f}. \] 若该段漂移的速度近似 \(v_n\),则长度应满足: \[ L_n\approx v_n\Delta t_n \approx v_n\frac{T}{2}. \] 速度随能量升高而增大 \(\Rightarrow L_n\) 逐级变长。

3) 固定长度为何会相位漂移

若 \(L_n\) 固定,则 \(\Delta t_n=L/v_n\) 会随 \(v_n\) 增大而变小,导致到达相位逐步偏离最佳值,出现加速变差甚至减速。


参数

用 V_gap ≈ E0·g 表示每个缝隙的等效加速电压(g 为固定缝隙长度)。
相位为 0° 时加速最大;接近 ±90° 时加速趋近 0;超过 90° 会减速(此处仅示意)。

图表

常见误区

  • “只要一直加电场就能一直加速”:不对。RF 电场会随时间反向,必须在合适相位穿过缝隙。
  • “漂移管长度无所谓”:不对。速度变大后,若漂移段不变长,会出现相位漂移,甚至在错误相位被减速。
  • “相位=0° 永远最佳”:相位选择还涉及束团稳定性等更深入内容(此处不展开)。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 f 提高(周期变短),漂移管长度会变长还是变短?为什么?
  2. 验证:切换到“固定长度”,观察到达相位是否漂移?能量增长是否变差?
  3. 解释:用“漂移时间≈T/2”解释为什么漂移管长度需要随速度增长。

扩展:变压器(互感与匝数比)

变压器用互感把交流电能从原边“磁耦合”到副边。理想模型给出: V_s/V_p = N_s/N_pI_s/I_p = N_p/N_s, 并满足功率近似守恒 P_p ≈ P_s(忽略损耗)。

本页用正弦稳态的相量/波形思想:负载从纯电阻变为 RL 时,电流会滞后电压,功率因数改变。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:从法拉第定律得到匝比,再连到功率因数

1) 匝比:\(V_s/V_p=N_s/N_p\)

理想变压器假设:两线圈耦合到同一主磁通 \(\Phi(t)\)。由法拉第定律: \[ v_p(t)=N_p\frac{d\Phi}{dt},\qquad v_s(t)=N_s\frac{d\Phi}{dt}. \] 相除: \[ \frac{v_s}{v_p}=\frac{N_s}{N_p} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_{s,\mathrm{rms}}}{V_{p,\mathrm{rms}}}=\frac{N_s}{N_p}. \]

2) 电流比:由理想功率守恒得到

忽略损耗: \[ V_pI_p\approx V_sI_s \quad\Rightarrow\quad \frac{I_s}{I_p}\approx \frac{V_p}{V_s}\approx \frac{N_p}{N_s}. \]

3) RL 负载:阻抗与功率因数

负载阻抗: \[ Z=R+j\omega L,\qquad |Z|=\sqrt{R^2+(\omega L)^2}. \] 相位滞后: \[ \varphi=\arctan\!\left(\frac{\omega L}{R}\right), \qquad(\text{电流滞后电压 } \varphi). \] 有功/视在/无功功率: \[ P=VI\cos\varphi,\qquad S=VI,\qquad Q=VI\sin\varphi,\qquad \cos\varphi=\frac{R}{|Z|}. \]


参数

仅 RL 模式生效;L 越大,电流滞后越明显,功率因数越小。

图表

常见误区

  • “变压器能把直流电压变高/变低”:理想变压器需要交变磁通,因此不能直接变换纯直流(除非用开关电路先变成交流)。
  • “匝数比只影响电压不影响电流”:理想模型中电流也按匝数比反比变化,近似功率守恒。
  • “电感负载只会让电流变小”:还会引入相位滞后,使有功功率下降(功率因数变小)。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 Ns 加倍,Vs_rms 变成多少?Is_rms 又会怎样变化?
  2. 验证:切到 RL 负载,增大 L,电流相位滞后会变大还是变小?有功功率会怎样?
  3. 解释:用“相量/阻抗”解释:为什么 RL 负载下电流不与电压同相?

扩展:RLC 振荡(能量交换与阻尼)

RLC 振荡把“电路里的能量”可视化:电容能量 E_C=½CV² 与电感磁能 E_L=½LI² 在振荡中来回交换, 电阻把能量以焦耳热形式耗散。阻尼越大(R 越大),振荡衰减越快,Q 值越小。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:一套方程记住 \(\omega_0\)、\(\alpha\) 与三种阻尼

1) 标准二阶方程与参数

串联 RLC 放电(电容电压): \[ \frac{d^2V_C}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dV_C}{dt}+\frac{1}{LC}V_C=0, \qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad \alpha=\frac{R}{2L}. \] 分类: \[ \alpha<\omega_0\ (\text{欠阻尼}),\quad \alpha=\omega_0\ (\text{临界阻尼}),\quad \alpha>\omega_0\ (\text{过阻尼}). \]

2) 欠阻尼解(本仓库图像主要用它)

令 \(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\): \[ V_C(t)=V_0e^{-\alpha t}\left[\cos(\omega_dt)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_dt)\right], \] \[ I(t)=\frac{V_0}{L\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_dt). \]

3) Q 值(常用近似)

\[ Q\approx \frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}. \] Q 大 \(\Rightarrow\) 损耗相对小、衰减慢,但带宽更窄、对参数更敏感。

4) 能量交换与耗散(自检)

\[ E_C=\frac12 CV_C^2,\quad E_L=\frac12 LI^2,\quad E_R(t)=\int_0^t I^2R\,dt, \quad E_C+E_L+E_R\approx \frac12 CV_0^2. \]


参数

图表

常见误区

  • “电感储能在电阻上消失”:电感能量并不会凭空消失,而是通过电流在电阻上转化为热。
  • “振荡频率只由 L 或 C 决定”:理想频率 ω0=1/√(LC),两者共同决定;R 会影响阻尼与实际频率。
  • “Q 值越大越危险”:Q 描述的是“相对损耗大小”,并不直接等同于危险性(仍需结合电压/电流幅值)。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 C 加倍,振荡周期会变大还是变小?为什么?
  2. 验证:把 R 调到接近 0 与较大值,对比能量曲线:E_R 增长速度有何不同?
  3. 解释:能量在 E_C 与 E_L 之间交换时,为什么 I(t) 与 V_C(t) 有相位差?

扩展:无线充电(耦合谐振)

无线充电(耦合谐振)的关键字:耦合系数 k谐振频率Q 值失谐。 两个谐振回路通过互感耦合,只有在频率合适、损耗较小(Q 大)且耦合适中时,能量才能高效传输。

本页用“两个串联 RLC + 互感 M”的频域模型计算效率曲线 η(f)(离线交互,前端 O(N) 扫频)。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:用阻抗矩阵得到 \(I_1,I_2\) 与效率 \(\eta(f)\)

1) 互感与 Q 值

互感用耦合系数表示: \[ M=k\sqrt{L_1L_2},\qquad 0\le k\le 1. \] Q 值(常用定义): \[ Q\approx \frac{\omega_0L}{R}. \]

2) 频域方程(相量法)

各回路阻抗: \[ Z_1=R_1+j\omega L_1+\frac{1}{j\omega C_1},\quad Z_2=(R_2+R_L)+j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C_2}. \] 耦合项为 \(j\omega M\)。列方程: \[ Z_1I_1+j\omega MI_2=V_s,\qquad j\omega MI_1+Z_2I_2=0. \] 解得: \[ I_1=\frac{V_sZ_2}{Z_1Z_2-(j\omega M)^2},\qquad I_2=-\frac{V_s(j\omega M)}{Z_1Z_2-(j\omega M)^2}. \]

3) 功率与效率

\[ P_{\mathrm{in}}=\frac12\Re\{V_s I_1^*\},\qquad P_L=\frac12 |I_2|^2R_L,\qquad \eta=\frac{P_L}{P_{\mathrm{in}}}. \]

4) 双峰的来源(强耦合的两个正常模)

当 \(k\) 较大且损耗较小(Q 大),系统更像两个耦合振子,出现两个正常模频率,效率曲线可能分裂成双峰。


参数

例如 +0.10 表示接收端谐振频率比发送端高约 10%。

图表

常见误区

  • “k 越大效率越高”:不一定。过强耦合会导致频响分裂(双峰)与失配,取决于 Q 与负载。
  • “只要调到谐振就行”:失谐会显著降低效率;且系统参数变化(距离、位置、负载)都会改变最佳频率。
  • “Q 越大越好”:Q 大意味着损耗小,但带宽变窄,对失谐更敏感。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 detune 从 0 改到 +0.15,效率峰值会向哪边移动?峰值会变高还是变低?
  2. 验证:在 Q 很大时,曲线会变“尖”还是“宽”?这对无线充电的鲁棒性意味着什么?
  3. 解释:为什么耦合过强时会出现“双峰”?(提示:两个耦合振子的正常模)

扩展:霍尔效应(方向判定与 V_H)

霍尔效应把“看不见的载流子受力”变成可测电压: 载流子在磁场中受洛伦兹力 F = q v × B 向一侧偏转,形成横向电场 E_H, 直到电场力与磁力平衡。理想单载流子模型给出 V_H = I B /(n q t)(t 为样品厚度)。

本页展示 V_H 随 I、B、n、t 的变化,并用方向图帮助判断载流子类型(电子/空穴)。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:从受力平衡得到 \(V_H=\dfrac{IB}{nqt}\),并用符号判定载流子类型

1) 受力平衡:磁力 \(\leftrightarrow\) 电场力

载流子漂移速度 \(v_d\)(沿电流方向),在磁场 \(B\) 中受磁力 \(qv_dB\)。堆积产生霍尔电场 \(E_H\),平衡: \[ qE_H=qv_dB \quad\Rightarrow\quad E_H=v_dB. \]

2) 用电流 \(I\) 消去 \(v_d\)

电流密度: \[ J=nqv_d. \] 若样品宽 \(w\)、厚 \(t\),截面积 \(A=wt\),电流: \[ I=JA=nqv_dwt \quad\Rightarrow\quad v_d=\frac{I}{nqwt}. \] 代回 \(E_H=v_dB\) 并乘以宽度 \(w\) 得霍尔电压: \[ V_H=E_Hw=\frac{IB}{nqt}. \] 符号由 \(q\) 决定:电子 \(q<0\Rightarrow V_H<0\),空穴 \(q>0\Rightarrow V_H>0\)。

3) 霍尔系数

\[ R_H:=\frac{E_H}{JB}=\frac{1}{nq}. \] 测得 \(R_H\) 的符号即可判断主要载流子类型。


参数

n 越大,单位体积载流子越多,霍尔电压越小(定性)。
类型会改变霍尔电压的符号与方向图中的受力方向。

图表

常见误区

  • “霍尔电压与 B 无关”:不对,理想模型中 V_H ∝ B
  • “n 越大霍尔电压越大”:相反,V_H ∝ 1/n
  • “符号不重要”:霍尔电压的符号可用于判断主要载流子类型(电子/空穴)。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 I 加倍,V_H 会如何变化?把 t 加倍呢?
  2. 验证:切换载流子类型,方向图中 F_L 与 E_H 的方向发生了什么变化?
  3. 解释:用“平衡:qE_H = q vB”推导出 V_H 与 I、B、n、t 的关系。

扩展:扬声器/麦克风互逆(BL·I 与 BL·v)

动圈扬声器与动圈麦克风体现“互逆性”:

  • 扬声器:线圈电流在磁场中受力 F = B L · I,推动振膜振动。
  • 麦克风:振膜/线圈在磁场中运动,磁通变化产生感应电动势,近似 e ≈ B L · v(v 为速度)。
电路观点:电流由驱动电压与线圈阻抗决定;麦克风输出电压与负载电阻相关。

本页用“电-机”简化模型展示:机械共振、相位与输出幅值随频率变化。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:用一套方程说明“扬声器/麦克风互逆”(\(BL\cdot I\) 与 \(BL\cdot v\))

1) 机械受迫振动(统一写法)

单自由度模型: \[ m\ddot x+b\dot x+kx=F(t). \] 正弦稳态(相量): \[ X=\frac{F}{Z_m},\qquad Z_m = k-m\omega^2+jb\omega. \]

2) 扬声器:\(V_{\mathrm{in}}\rightarrow I\rightarrow F=BL\,I\rightarrow x\)

线圈电阻抗: \[ Z_e=R_{\mathrm{coil}}+j\omega L_{\mathrm{coil}}, \qquad I=\frac{V_{\mathrm{in}}}{Z_e}. \] 力因子(互逆常数) \(BL\): \[ F=(BL)\,I \quad\Rightarrow\quad X=\frac{BL}{Z_m}\cdot\frac{V_{\mathrm{in}}}{Z_e}. \] 因此:电感 \(L_{\mathrm{coil}}\) 改变电流相位;机械共振使 \(|Z_m|\) 变小,从而位移变大。

3) 麦克风:\(F_{\mathrm{ext}}\rightarrow x\rightarrow v\rightarrow e=BL\,v\)

外力驱动: \[ X=\frac{F_{\mathrm{ext}}}{Z_m},\qquad v=j\omega X. \] 动圈切割磁场产生感应电动势(互逆): \[ e=(BL)\,v=j\omega(BL)\,X. \] 更完整的电路输出还应考虑线圈阻抗与负载分压;教学演示中常取 \(V_{\mathrm{out}}\approx e\) 来突出互逆关系与频率趋势:\(|e|\propto \omega\)。

4) 互逆性一句话

同一个 \(BL\) 同时出现在 \[ F=BL\cdot I,\qquad e=BL\cdot v, \] 所以改变 \(BL\) 会同时影响“受力能力”和“感应电压能力”。


参数

同一个 BL 同时决定:扬声器受力 F=BL·I 与麦克风感应 e≈BL·v。
电感使电流相位滞后(交流电路观点)。

图表

常见误区

  • “扬声器只是电路元件”:它是电-机耦合系统,机械共振会影响电声表现。
  • “麦克风输出与频率无关”:振膜/系统有机械共振,输出随频率变化明显。
  • “BL 只影响扬声器不影响麦克风”:互逆性表明 BL 同时影响受力与感应电动势。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 k 增大(更“硬”),共振频率会升高还是降低?
  2. 验证:增大阻尼 b,共振峰会变高还是变矮/变宽?
  3. 解释:为什么扬声器的电流相位会因 L_coil 而滞后?这会如何影响力 F(t)=BL·I(t)?

扩展:电磁感应加热(涡流与集肤效应)

电磁感应加热的直观链条:交流磁场 → 金属内部产生感应电场 → 涡流 → 焦耳热。 高频下会出现集肤效应:电流主要集中在表面一层厚度 δ 内, 近似 δ ≈ √(2ρ/(ωμ))(ρ 为电阻率,μ 为磁导率)。

本页用教学近似展示 δ(f) 与“相对加热功率指标”随频率的趋势(不涉及任何装置制造或危险实验指导)。

公式推演(展开)

统一符号与约定(全模块通用)

  • 时间:\(t\)(s),频率:\(f\)(Hz),角频率:\(\omega = 2\pi f\)(rad/s)
  • 电路量:电压 \(V\)(V),电流 \(I\)(A),电阻 \(R\)(\(\Omega\)),电感 \(L\)(H),电容 \(C\)(F)
  • 电磁量:电场 \(\mathbf{E}\)(V/m),磁感应强度 \(\mathbf{B}\)(T),磁通 \(\Phi\)(Wb),电动势/感应电压 \(\varepsilon\)(V)
  • 质点量:电荷 \(q\)(C),质量 \(m\)(kg),速度 \(\mathbf{v}\)(m/s),力 \(\mathbf{F}\)(N)
  • 洛伦兹力(统一方向判断公式):
    \[
    \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).
    \]
    当 \(q<0\)(电子)时,方向相对“右手定则”反向。
  • 正弦量(峰值/有效值):
    • 若 \(x(t) = \hat X\sin(\omega t+\varphi)\),则 \(X_{\mathrm{rms}}=\hat X/\sqrt 2\)。
    • 相量写法:\(x(t)=\Re\{\tilde X\,e^{j\omega t}\}\),并约定 \(j^2=-1\)。
  • 教学近似边界(所有模块默认):
    • 忽略边缘场、空间非均匀、材料非线性、温升导致的参数漂移。
    • “等效电压/等效力/等效模型”只保证趋势与量纲正确,不追求工程精度。

目标:从法拉第定律得到集肤深度 \(\delta\approx\sqrt{\dfrac{2\rho}{\omega\mu}}\),再理解功率趋势

1) 频率为何“放大”感应效应

法拉第定律: \[ \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi}{dt}. \] 若 \(\Phi(t)=\hat\Phi\sin\omega t\),则 \[ \left|\frac{d\Phi}{dt}\right|_{\mathrm{peak}}=\omega\hat\Phi, \] 因此感应电场的量级随 \(\omega\) 增大而增大(趋势记忆:\(E_{\mathrm{ind}}\propto \omega B\))。

2) 涡流与焦耳热(局部形式)

电导率 \(\sigma=1/\rho\): \[ \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E},\qquad p=\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}=\sigma E^2=J^2\rho. \] 在几何相近的教学近似下,常见趋势: \[ P \propto \frac{\omega^2B^2}{\rho} \quad(\text{忽略集肤}). \]

3) 集肤深度(结果会用即可)

高频下场量向导体内部指数衰减 \(E(x)\sim E_0e^{-x/\delta}\)。集肤深度的标准结果: \[ \delta=\sqrt{\frac{2\rho}{\omega\mu}}, \qquad \mu\approx \mu_0\mu_r. \] 趋势: \[ \delta\propto \frac{1}{\sqrt f},\qquad \delta\propto \sqrt{\rho}. \]

4) 厚度 \(t\) 与“有效体积”

当 \(t\gg\delta\) 时,主要是表面一层发热,继续增厚收益不明显;当 \(t\sim\delta\) 时,更多体积参与。 教学上可用一个“参与因子”表达: \[ \text{fill}\approx 1-e^{-t/\delta}, \qquad P_{\mathrm{rel}}\sim \frac{\omega^2B^2}{\rho}\cdot(1-e^{-t/\delta}). \]

参数

功率随 B 增大明显上升(定性:感应电动势 ∝ ωB)。
ρ 越大,电流越小,功率一般下降;但 δ 会变大(更深处参与)。

图表

常见误区

  • “频率越高 δ 越大”:相反,δ ∝ 1/√f,频率越高集肤越明显。
  • “电阻率越大越容易加热”:一般趋势是功率随 1/ρ 降低,但同时 δ 变大、有效体积变化(此处用简化指标)。
  • “磁场只要有就会强烈加热”:功率与 ω 与 B 的增长有关,低频/弱磁场下加热很弱。

引导问题

引导问题
  1. 预测:把 f 提高 4 倍,δ 会变成原来的多少?(提示:δ∝1/√f)
  2. 验证:把厚度 t 从 2mm 增到 10mm,当 t≫δ 时,功率随 t 还会明显增加吗?
  3. 解释:用“感应电动势 ∝ dΦ/dt ∝ ωB”解释:为什么功率对频率很敏感?