目标：推到并记住 \(y \propto \dfrac{V_{\mathrm{def}}}{V_{\mathrm{acc}}}\)

1) 加速段：\(V_{\mathrm{acc}}\rightarrow v\)

非相对论近似（动能来自电势能）： \[ eV_{\mathrm{acc}}=\frac12 m_e v^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e}}. \]

2) 偏转板内：\(V_{\mathrm{def}}\rightarrow E_y\rightarrow a_y\rightarrow y_1\)

偏转板间距 \(d\)，电场近似均匀： \[ E_y \approx \frac{V_{\mathrm{def}}}{d}. \] 电场力与加速度： \[ F_y=eE_y,\qquad a_y=\frac{F_y}{m_e}=\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}. \] 偏转板长度 \(l\)，板内飞行时间 \(t_1=l/v\)。板内位移（初始 \(v_y=0\)）： \[ y_1=\frac12 a_y t_1^2 = \frac12\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{l^2}{v^2}. \]

3) 漂移段：\(v_y\rightarrow y_2\)

出板获得横向速度： \[ v_y=a_y t_1=\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{l}{v}. \] 漂移段长度 \(L_d\)，漂移时间 \(t_2=L_d/v\)，漂移位移： \[ y_2=v_y t_2=\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{lL_d}{v^2}. \]

4) 合并得到比例关系（最重要的“记忆式”）

\[ \begin{aligned} y &= y_1+y_2 = \frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{l^2/2+lL_d}{v^2},\\ v^2&=\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e} \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad y=\frac{V_{\mathrm{def}}}{V_{\mathrm{acc}}}\cdot\frac{l^2/2+lL_d}{2d}. \] 因此（几何量固定时）： \[ y \propto \frac{V_{\mathrm{def}}}{V_{\mathrm{acc}}}. \]

记忆法：\(V_{\mathrm{acc}}\) 越大 \(\Rightarrow v\) 越大 \(\Rightarrow\) 在偏转区“停留时间”更短 \(\Rightarrow\) 同样 \(V_{\mathrm{def}}\) 偏转更小。

5) 数字示波器：采样与量化（两条必会公式）

• 采样时刻：\(\;t_n = n/f_s\)（采样率 \(f_s\)）
• 量化台阶（满量程 \(\pm A\)，位数 \(N_{\mathrm{bits}}\)）：
  \[
  \Delta \approx \frac{2A}{2^{N_{\mathrm{bits}}}},\qquad
  e_q\in\left[-\frac{\Delta}{2},\frac{\Delta}{2}\right]
  \quad(\text{理想均匀量化}).
  \]
• 混叠（定性记忆）：当信号频率接近/超过 \(f_s/2\)，会折叠为低频；常用写法：
  \[
  f_{\mathrm{alias}}=\lvert f-kf_s\rvert
  \quad(\text{取整数 }k\text{ 使 }f_{\mathrm{alias}}\in[0,f_s/2]).
  \]

目标：从 Beer–Lambert \(\rightarrow\) Radon \(\rightarrow\) BP/FBP

1) 透射与“投影数据”

设截面衰减系数为 \(\mu(x,y)\)（单位 \( \mathrm{m^{-1}}\)）。沿一条射线 \(L(\theta,s)\)： \[ I_{\mathrm{out}} = I_{\mathrm{in}}\exp\!\left(-\int_{L(\theta,s)} \mu\,ds\right). \] 取对数得到更“线性”的投影量： \[ p(\theta,s):=-\ln\!\left(\frac{I_{\mathrm{out}}}{I_{\mathrm{in}}}\right) = \int_{L(\theta,s)} \mu\,ds. \] 这一步说明：CT 的核心数据不是照片，而是“线积分”。

2) Radon 形式：用 \((\theta,s)\) 描述一条直线

直线方程（法向量角度为 \(\theta\)）： \[ x\cos\theta + y\sin\theta = s. \] 于是 \(p(\theta,s)\) 就是对满足该方程的直线做积分（即 Radon 变换的输出）。把 \(\theta\) 作为横轴、\(s\) 作为纵轴排成图，就是 sinogram。

3) “点 \(\rightarrow\) 正弦线”的由来（最常考）

若只看某个点 \((x_0,y_0)\) 的贡献，它在角度 \(\theta\) 下投影到 \[ s(\theta)=x_0\cos\theta+y_0\sin\theta, \] 这是随 \(\theta\) 正弦变化的函数，因此在 sinogram 上画出一条“正弦轨迹”。

4) 简单反投影（BP）：把投影“沿原方向铺回去”

反投影（连续形式）的直观表达： \[ \mu_{\mathrm{BP}}(x,y)=\int_0^{\pi} p\!\left(\theta,\,x\cos\theta+y\sin\theta\right)d\theta. \] BP 的问题：会把点“抹开”成模糊背景（低频偏强），边缘发糊、条纹明显。

5) 滤波反投影（FBP）：先滤波再反投影

FBP 结构（记住“先滤波再反投影”）： \[ \mu_{\mathrm{FBP}}(x,y) =\int_0^{\pi} \bigl(p(\theta,\cdot)*h(\cdot)\bigr)\!\left(x\cos\theta+y\sin\theta\right)\,d\theta. \] 其中 \(h\) 是滤波核；在频域中等价于对每个角度的投影做 ramp filter： \[ P_{\mathrm{filt}}(\omega) = |\omega|\,P(\omega). \] 直观理解：BP 低频过强 \(\Rightarrow\) 乘上 \(|\omega|\) 补偿高频 \(\Rightarrow\) 边缘更清晰。

6) 角度数 \(N_{\mathrm{angles}}\)：为何角度少会出条纹

把积分离散成求和： \[ \mu(x,y)\approx \sum_{k=0}^{N-1} p\!\left(\theta_k,\,x\cos\theta_k+y\sin\theta_k\right), \qquad \theta_k=\frac{k\pi}{N}. \] 当 \(N\) 变小，角度域欠采样 \(\Rightarrow\) 重建出现条纹伪影（streak artifacts）。

目标：三相“stick 伸缩”叠加出旋转矢量

1) 单相：端点只会往返

教学近似：绕组在某观察点的磁场矢量与电流成正比，且方向沿绕组轴： \[ \mathbf{B}_a(t)=k\,i_a(t)\,\hat{\mathbf{u}}_a,\qquad \hat{\mathbf{u}}_a=\text{常向量}. \] 单相 \(i_a(t)=I_0\sin\omega t\)，因此 \(\mathbf{B}(t)\) 只在固定方向上正负变化 \(\Rightarrow\) 端点轨迹是一条线段（往返）。

2) 三相：合成磁场幅值近恒定且在转

三相电流（相差 \(120^\circ\)）： \[ \begin{aligned} i_a &= I_0\sin\omega t,\\ i_b &= I_0\sin(\omega t-2\pi/3),\\ i_c &= I_0\sin(\omega t+2\pi/3). \end{aligned} \] 绕组轴（空间方向也相差 \(120^\circ\)）： \[ \hat{\mathbf{u}}_a=(1,0),\quad \hat{\mathbf{u}}_b=\bigl(\cos120^\circ,\sin120^\circ\bigr),\quad \hat{\mathbf{u}}_c=\bigl(\cos240^\circ,\sin240^\circ\bigr). \] 合成： \[ \mathbf{B}(t)=k\bigl(i_a\hat{\mathbf{u}}_a+i_b\hat{\mathbf{u}}_b+i_c\hat{\mathbf{u}}_c\bigr). \] 利用三角恒等式可得到（关键结果）： \[ B_x(t)=\frac{3}{2}kI_0\sin\omega t,\qquad B_y(t)=-\frac{3}{2}kI_0\cos\omega t. \] 因此 \[ |\mathbf{B}(t)|=\sqrt{B_x^2+B_y^2}=\frac{3}{2}kI_0=\text{常数}, \] 端点轨迹为圆（旋转磁场）。

记忆法：三相时“绕组轴固定”，每相 stick 只在自己的轴上变长/变短，但合成矢量端点绕圈且幅值近恒定。

3) 单相 + 电容（两相近似）：椭圆与“接近圆”的条件

把主绕组与辅绕组近似成两正交分量： \[ B_x = kI_0\sin\omega t,\qquad B_y = k(rI_0)\sin(\omega t-\varphi). \] 一般为椭圆；当 \(r\approx 1\) 且 \(\varphi\approx 90^\circ\) 时更接近圆。

目标：从 RLC 放电得到 \(I(t)\)，再到 \(F(t)\propto I^2\) 与能量分配

安全边界：仅讨论理想化电路/物理与能量观点，不涉及任何现实可执行制造或操作。

1) 串联 RLC 放电：标准二阶方程

KVL（无外加源）： \[ L\frac{di}{dt}+Ri+V_C=0, \qquad i=-C\frac{dV_C}{dt}. \] 消去 \(i\)： \[ \frac{d^2V_C}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dV_C}{dt}+\frac{1}{LC}V_C=0. \] 定义 \[ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad \alpha=\frac{R}{2L}. \]

2) 欠阻尼解（最常见、最直观）

当 \(\alpha<\omega_0\)，令 \(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\)，在初始条件 \(V_C(0)=V_0\)、\(i(0)=0\) 下： \[ V_C(t)=V_0e^{-\alpha t}\left[\cos(\omega_dt)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_dt)\right], \] \[ i(t)=\frac{V_0}{L\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_dt). \] 结论：线性系统中 \(i(t)\propto V_0\)（加倍 \(V_0\) 电流整体加倍）。

3) 教学近似：\(I^2\) 力与运动学

常用近似（能量法写法）： \[ F(t)\approx \frac12 L' \,i(t)^2. \] 于是 \[ a(t)=\frac{F(t)}{m},\quad v(t)=\int a(t)\,dt,\quad x(t)=\int v(t)\,dt, \] 并可加入简化摩擦：\(a_{\mathrm{eff}}\approx F/m-\mu g\)（同时用 \(v\ge 0\) 夹紧体现损耗）。

4) 能量观点（最稳的自检）

初始电容能量： \[ E_0=\frac12 CV_0^2. \] 各部分能量（随时间）： \[ E_C=\frac12 C V_C^2,\quad E_L=\frac12 Li^2,\quad E_R(t)=\int_0^t i^2R\,dt,\quad E_K=\frac12 mv^2,\quad E_f\approx \mu m g x. \] 在理想/近似范围内应满足： \[ E_C+E_L+E_R+E_K+E_f\approx E_0. \]

5) 缩放律（课堂预测题好用）

因为 \(i\propto V_0\)，所以 \[ F\propto i^2 \propto V_0^2. \] 在其它参数不变的教学范围内，出口速度/位移的量级往往也随 \(V_0^2\) 明显增长（用于理解趋势）。

目标：得到 \(r\propto \sqrt{m/q}/B\)，并理解“落点分离”

1) 加速：\(V_{\mathrm{acc}}\rightarrow v\)

\[ qV_{\mathrm{acc}}=\frac12 mv^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2qV_{\mathrm{acc}}}{m}}. \]

2) 匀强磁场偏转：\(B\rightarrow r\)

速度垂直于 \(\mathbf{B}\) 时，磁力提供向心力： \[ |q|vB=\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r=\frac{mv}{|q|B}. \] 代入 \(v\)： \[ r=\sqrt{\frac{2mV_{\mathrm{acc}}}{|q|B^2}}. \] 结论（记住比例）： \[ r\propto \frac{\sqrt{m/|q|}}{B},\qquad r\propto \sqrt{V_{\mathrm{acc}}},\qquad r\propto \frac{1}{B}. \]

3) 速度选择器：\(v=E/B\)

交叉场选速（理想化）： \[ qE=qvB \quad\Rightarrow\quad v=\frac{E}{B}. \] 进入偏转磁场后： \[ r=\frac{mv}{|q|B}=\frac{mE}{|q|B^2}. \]

4) 探测屏落点（与页面几何一致）

粒子从原点沿 \(+x\) 进入磁场，圆弧参数式： \[ x=r\sin\theta,\qquad y=r(1-\cos\theta). \] 屏幕为 \(x=x_{\mathrm{det}}\)，则 \[ \sin\theta=\frac{x_{\mathrm{det}}}{r}, \qquad y_{\mathrm{hit}}=r\left(1-\sqrt{1-(x_{\mathrm{det}}/r)^2}\right). \] 因此不同 \(m/q\Rightarrow r\) 不同 \(\Rightarrow y_{\mathrm{hit}}\) 分离。

目标：把“电压 \(\rightarrow\) 波长”与“磁透镜 \(\rightarrow\) 聚焦”串起来

1) 德布罗意波长：\(V\rightarrow \lambda\)

非相对论近似： \[ p=\sqrt{2m_eeV},\qquad \lambda=\frac{h}{p} \quad\Rightarrow\quad \lambda(V)=\frac{h}{\sqrt{2m_eeV}}. \] 结论：\(\lambda\propto 1/\sqrt{V}\)。

2) 为什么“电压更高更难聚焦”（高中可接受的量级推导）

磁场只改变动量方向。横向动量改变量级 \(\Delta p_\perp\sim qBl\)（有效长度 \(l\)），纵向动量 \(p\sim \sqrt{V}\)，故偏转角量级 \[ \theta\sim \frac{\Delta p_\perp}{p}\propto \frac{B}{\sqrt{V}}. \] 因此在同样线圈电流（同样 \(B\)）下，\(V\) 越大，束线越“硬”，聚焦更弱（焦距更长）。

3) 薄透镜近似：一条最常用的“束线公式”

把束线视作小角度光线，透镜处横向坐标 \(y\)，入射角 \(\theta_{\mathrm{in}}\)。薄透镜角度跳变： \[ \theta_{\mathrm{out}}=\theta_{\mathrm{in}}-\frac{y}{f}. \] 焦距 \(f\) 越小聚焦越强；改变 \(f\) 会改变屏上束斑大小，并通常出现“最佳聚焦”附近的最小束斑。

目标：得到 \(\omega_c=|q|B/m\)，理解“共振/失谐”

1) 回旋角频率：磁场 \(\rightarrow\) 绕圈

\[ |q|vB=\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad \frac{v}{r}=\frac{|q|B}{m}=: \omega_c. \] 非相对论下 \(\omega_c\) 与半径无关，是“固定 RF 也能一直加速”的关键。

2) 缝隙加速：相位决定加速还是减速

若缝隙电压 \(V_{\mathrm{gap}}(t)=\hat V\sin(\omega_{\mathrm{rf}}t)\)，粒子第 \(n\) 次过缝隙时刻为 \(t_n\)，能量增量（教学量级）： \[ \Delta K_n \approx q\,V_{\mathrm{gap}}(t_n). \] 当 \(\omega_{\mathrm{rf}}\approx \omega_c\) 且相位选择合适，\(\Delta K_n\) 多为正，能量逐次累积。

3) 失谐：相位漂移导致“有时推有时拉”

若 \(\omega_{\mathrm{rf}}\ne \omega_c\)，到达相位 \(\phi_n=\omega_{\mathrm{rf}}t_n\) 会随 \(n\) 漂移，导致 \(\Delta K_n\) 符号与大小变化，平均加速变差甚至抵消。

4) 相对论效应（经典回旋加速器的限制）

能量升高使 \(\gamma\) 增大，回旋频率变为 \[ \omega_c=\frac{|q|B}{\gamma m},\qquad \gamma=1+\frac{K}{mc^2}. \] 即使初始对准，也会逐步失谐。

目标：推到漂移管长度 \(L_n\approx v_nT/2\)

1) 缝隙加速：相位同步

把 RF 场写成 \(E_z(t)=\hat E\cos(\omega t)\)。若缝隙长度为 \(g\)，等效电压近似 \[ V_{\mathrm{gap}}\approx \hat E\,g. \] 粒子在第 \(n\) 次穿越缝隙时刻 \(t_n\) 的能量增量（教学写法）： \[ \Delta K_n \approx qV_{\mathrm{gap}}\cos(\omega t_n+\phi_0). \] 要持续加速，就要让 \(\cos(\cdot)\) 尽量保持为正且不太小。

2) 漂移管：让粒子“等半个周期再出来”

漂移管内近似无场（不加速），作用是让粒子用时间对齐 RF 翻转。常取（\(\pi\) 模式直觉）： \[ \Delta t_n \approx \frac{T}{2}=\frac{1}{2f}. \] 若该段漂移的速度近似 \(v_n\)，则长度应满足： \[ L_n\approx v_n\Delta t_n \approx v_n\frac{T}{2}. \] 速度随能量升高而增大 \(\Rightarrow L_n\) 逐级变长。

3) 固定长度为何会相位漂移

若 \(L_n\) 固定，则 \(\Delta t_n=L/v_n\) 会随 \(v_n\) 增大而变小，导致到达相位逐步偏离最佳值，出现加速变差甚至减速。

目标：从法拉第定律得到匝比，再连到功率因数

1) 匝比：\(V_s/V_p=N_s/N_p\)

理想变压器假设：两线圈耦合到同一主磁通 \(\Phi(t)\)。由法拉第定律： \[ v_p(t)=N_p\frac{d\Phi}{dt},\qquad v_s(t)=N_s\frac{d\Phi}{dt}. \] 相除： \[ \frac{v_s}{v_p}=\frac{N_s}{N_p} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_{s,\mathrm{rms}}}{V_{p,\mathrm{rms}}}=\frac{N_s}{N_p}. \]

2) 电流比：由理想功率守恒得到

忽略损耗： \[ V_pI_p\approx V_sI_s \quad\Rightarrow\quad \frac{I_s}{I_p}\approx \frac{V_p}{V_s}\approx \frac{N_p}{N_s}. \]

3) RL 负载：阻抗与功率因数

负载阻抗： \[ Z=R+j\omega L,\qquad |Z|=\sqrt{R^2+(\omega L)^2}. \] 相位滞后： \[ \varphi=\arctan\!\left(\frac{\omega L}{R}\right), \qquad(\text{电流滞后电压 } \varphi). \] 有功/视在/无功功率： \[ P=VI\cos\varphi,\qquad S=VI,\qquad Q=VI\sin\varphi,\qquad \cos\varphi=\frac{R}{|Z|}. \]

目标：一套方程记住 \(\omega_0\)、\(\alpha\) 与三种阻尼

1) 标准二阶方程与参数

串联 RLC 放电（电容电压）： \[ \frac{d^2V_C}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dV_C}{dt}+\frac{1}{LC}V_C=0, \qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad \alpha=\frac{R}{2L}. \] 分类： \[ \alpha<\omega_0\ (\text{欠阻尼}),\quad \alpha=\omega_0\ (\text{临界阻尼}),\quad \alpha>\omega_0\ (\text{过阻尼}). \]

2) 欠阻尼解（本仓库图像主要用它）

令 \(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\)： \[ V_C(t)=V_0e^{-\alpha t}\left[\cos(\omega_dt)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_dt)\right], \] \[ I(t)=\frac{V_0}{L\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_dt). \]

3) Q 值（常用近似）

\[ Q\approx \frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}. \] Q 大 \(\Rightarrow\) 损耗相对小、衰减慢，但带宽更窄、对参数更敏感。

4) 能量交换与耗散（自检）

\[ E_C=\frac12 CV_C^2,\quad E_L=\frac12 LI^2,\quad E_R(t)=\int_0^t I^2R\,dt, \quad E_C+E_L+E_R\approx \frac12 CV_0^2. \]

目标：用阻抗矩阵得到 \(I_1,I_2\) 与效率 \(\eta(f)\)

1) 互感与 Q 值

互感用耦合系数表示： \[ M=k\sqrt{L_1L_2},\qquad 0\le k\le 1. \] Q 值（常用定义）： \[ Q\approx \frac{\omega_0L}{R}. \]

2) 频域方程（相量法）

各回路阻抗： \[ Z_1=R_1+j\omega L_1+\frac{1}{j\omega C_1},\quad Z_2=(R_2+R_L)+j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C_2}. \] 耦合项为 \(j\omega M\)。列方程： \[ Z_1I_1+j\omega MI_2=V_s,\qquad j\omega MI_1+Z_2I_2=0. \] 解得： \[ I_1=\frac{V_sZ_2}{Z_1Z_2-(j\omega M)^2},\qquad I_2=-\frac{V_s(j\omega M)}{Z_1Z_2-(j\omega M)^2}. \]

3) 功率与效率

\[ P_{\mathrm{in}}=\frac12\Re\{V_s I_1^*\},\qquad P_L=\frac12 |I_2|^2R_L,\qquad \eta=\frac{P_L}{P_{\mathrm{in}}}. \]

4) 双峰的来源（强耦合的两个正常模）

当 \(k\) 较大且损耗较小（Q 大），系统更像两个耦合振子，出现两个正常模频率，效率曲线可能分裂成双峰。

目标：从受力平衡得到 \(V_H=\dfrac{IB}{nqt}\)，并用符号判定载流子类型

1) 受力平衡：磁力 \(\leftrightarrow\) 电场力

载流子漂移速度 \(v_d\)（沿电流方向），在磁场 \(B\) 中受磁力 \(qv_dB\)。堆积产生霍尔电场 \(E_H\)，平衡： \[ qE_H=qv_dB \quad\Rightarrow\quad E_H=v_dB. \]

2) 用电流 \(I\) 消去 \(v_d\)

电流密度： \[ J=nqv_d. \] 若样品宽 \(w\)、厚 \(t\)，截面积 \(A=wt\)，电流： \[ I=JA=nqv_dwt \quad\Rightarrow\quad v_d=\frac{I}{nqwt}. \] 代回 \(E_H=v_dB\) 并乘以宽度 \(w\) 得霍尔电压： \[ V_H=E_Hw=\frac{IB}{nqt}. \] 符号由 \(q\) 决定：电子 \(q<0\Rightarrow V_H<0\)，空穴 \(q>0\Rightarrow V_H>0\)。

3) 霍尔系数

\[ R_H:=\frac{E_H}{JB}=\frac{1}{nq}. \] 测得 \(R_H\) 的符号即可判断主要载流子类型。

目标：用一套方程说明“扬声器/麦克风互逆”（\(BL\cdot I\) 与 \(BL\cdot v\)）

1) 机械受迫振动（统一写法）

单自由度模型： \[ m\ddot x+b\dot x+kx=F(t). \] 正弦稳态（相量）： \[ X=\frac{F}{Z_m},\qquad Z_m = k-m\omega^2+jb\omega. \]

2) 扬声器：\(V_{\mathrm{in}}\rightarrow I\rightarrow F=BL\,I\rightarrow x\)

线圈电阻抗： \[ Z_e=R_{\mathrm{coil}}+j\omega L_{\mathrm{coil}}, \qquad I=\frac{V_{\mathrm{in}}}{Z_e}. \] 力因子（互逆常数） \(BL\)： \[ F=(BL)\,I \quad\Rightarrow\quad X=\frac{BL}{Z_m}\cdot\frac{V_{\mathrm{in}}}{Z_e}. \] 因此：电感 \(L_{\mathrm{coil}}\) 改变电流相位；机械共振使 \(|Z_m|\) 变小，从而位移变大。

3) 麦克风：\(F_{\mathrm{ext}}\rightarrow x\rightarrow v\rightarrow e=BL\,v\)

外力驱动： \[ X=\frac{F_{\mathrm{ext}}}{Z_m},\qquad v=j\omega X. \] 动圈切割磁场产生感应电动势（互逆）： \[ e=(BL)\,v=j\omega(BL)\,X. \] 更完整的电路输出还应考虑线圈阻抗与负载分压；教学演示中常取 \(V_{\mathrm{out}}\approx e\) 来突出互逆关系与频率趋势：\(|e|\propto \omega\)。

4) 互逆性一句话

同一个 \(BL\) 同时出现在 \[ F=BL\cdot I,\qquad e=BL\cdot v, \] 所以改变 \(BL\) 会同时影响“受力能力”和“感应电压能力”。

目标：从法拉第定律得到集肤深度 \(\delta\approx\sqrt{\dfrac{2\rho}{\omega\mu}}\)，再理解功率趋势

1) 频率为何“放大”感应效应

法拉第定律： \[ \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi}{dt}. \] 若 \(\Phi(t)=\hat\Phi\sin\omega t\)，则 \[ \left|\frac{d\Phi}{dt}\right|_{\mathrm{peak}}=\omega\hat\Phi, \] 因此感应电场的量级随 \(\omega\) 增大而增大（趋势记忆：\(E_{\mathrm{ind}}\propto \omega B\)）。

2) 涡流与焦耳热（局部形式）

电导率 \(\sigma=1/\rho\)： \[ \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E},\qquad p=\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}=\sigma E^2=J^2\rho. \] 在几何相近的教学近似下，常见趋势： \[ P \propto \frac{\omega^2B^2}{\rho} \quad(\text{忽略集肤}). \]

3) 集肤深度（结果会用即可）

高频下场量向导体内部指数衰减 \(E(x)\sim E_0e^{-x/\delta}\)。集肤深度的标准结果： \[ \delta=\sqrt{\frac{2\rho}{\omega\mu}}, \qquad \mu\approx \mu_0\mu_r. \] 趋势： \[ \delta\propto \frac{1}{\sqrt f},\qquad \delta\propto \sqrt{\rho}. \]

4) 厚度 \(t\) 与“有效体积”

当 \(t\gg\delta\) 时，主要是表面一层发热，继续增厚收益不明显；当 \(t\sim\delta\) 时，更多体积参与。 教学上可用一个“参与因子”表达： \[ \text{fill}\approx 1-e^{-t/\delta}, \qquad P_{\mathrm{rel}}\sim \frac{\omega^2B^2}{\rho}\cdot(1-e^{-t/\delta}). \]